Prolongement par continuité

On dit qu'une fonction \(f\)  est prolongeable par continuité en un réel \(a\)  si

• \(f\)  est définie sur \(I\)  et \(a\)  est une borne de \(I\)  mais n'appartient pas à \(I\)  ;
  
• \(f\)  admet une limite finie \(\ell\)  quand \(x\)  tend vers \(a\) .
  

Autrement dit , lorsqu'une fonction admet une limite finie en un point, sans être définie en ce point, on peut « rajouter » le point qui prolonge naturellement la fonction. On pose alors \(f(a)=\ell\) .

Applications

1. Montrer que la fonction \(f:x\mapsto x\ln x\)  peut être prolongée en 0.

2. Soit \(g\)  la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{ -1;1\right\}\)  par \(g\left(x\right)=\dfrac{x^{5}+1}{x^{2}-1}\) .
    a. Démontrer que, pour tout réel \(x\) , on a \(x^{5}+1=(x+1)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\) .
    b. Démontrer que  \(f\) est prolongeable par continuité en \(-1\) .
    c.  \(f\) est-elle prolongeable par continuité en  \(1\) ?